Для доказательства данного тождества раскроем скобки:

(1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = (1 - x^3 + x^6 - x^9)(x^3 + 1) = (1 - x^3 + x^6 - x^9)(x^3) + (1 - x^3 + x^6 - x^9)(1) = x^3 - x^6 + x^9 - x^12 + x^3 - x^6 + x^9 - x^12 + x^6 - x^9 + x^12 - x^15 + x^3 - x^6 + x^9 - x^12 + 1 - x^3 + x^6 - x^9 = 1 - x^12

Таким образом, тождество (1 + x^6)(1 - x^3)(x^3 + 1) = 1 - x^12 доказано.