Чтобы решить данный интеграл, можно первым делом разложить знаменатель на множители следующим образом:

x^4 + x^3 + x^2 + x = x(x^3 + x^2 + x + 1) = x(x+1)(x^2+1)

Теперь поделим числитель на знаменатель и разложим его на простейшие дроби:

(x^3 + 1)/(x^4 + x^3 + x^2 + x) = A/x + (Bx + C)/(x^2+1) + D/(x+1)

Умножим обе части на x(x^2+1)(x+1) и преобразуем выражение:

x^3 + 1 = A(x^2+1)(x+1) + (Bx + C)x(x+1) + Dx(x^2+1)

Теперь найдем конкретные значения коэффициентов A, B, C и D, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной. После этого запишем исходную функцию в виде суммы интегралов:

∫ (x^3+1)/(x^4+x^3+x^2+x) dx = ∫ (A/x + (Bx + C)/(x^2+1) + D/(x+1)) dx

А затем проинтегрируем каждое слагаемое согласно стандартным формулам интегрирования.