Для доказательства данного утверждения рассмотрим четырехугольник ABCD, у которого диагонали AC и BD равны между собой и перпендикулярны.

Проведем от всех вершин четырехугольника ABCD отрезки до середин диагоналей: M - середина AC, N - середина BD.

Так как AC = BD и AC ⊥ BD, то треугольники AMB и CNB равны по гипотенузе и катетам.

Также треугольники ACD и BCD равны по сторонам.

Из соответствующих сторон треугольников AMB и CNB следует, что AB = BC.

Из равенства треугольников ACD и BCD видим, что углы ABC и ADC равны и равны 90 градусов, так как треугольник ACD прямоугольный.

Итак, углы четырехугольника ABCD равны между собой и равны 90 градусов, что и означает, что четырехугольник ABCD - квадрат.