Цифру 6.

Итак, у нас есть два числа: (\overline{10x6y}) и (\overline{x6y10}).

Из условия задачи мы знаем, что оба четырёхзначных числа делятся на 12.
Так как число делится на 12, то оно должно делиться и на 3 и на 4.
Чтобы число, оканчивающееся на 10, делилось на 4, последние две цифры должны делиться на 4. Значит , числа y0 или y8 подходят.
Также, чтобы число было четным, цифра x должна быть четной.

12 делится на 3, значит, сумма всех цифр числа также должна делиться на 3.
Сначала найдем сумму цифр числа (\overline{10x6y}): 1 + 0 + x + 6 + y = 7 + x + y.
Теперь найдем сумму цифр числа (\overline{x6y10}): x + 6 + y + 1 + 0 = x + y + 7.

Таким образом, сумма цифр числа (\overline{10x6y}) равна сумме цифр числа (\overline{x6y10}). Это значит, что x = 1.

Теперь у нас остается найти цифру y. Подходят цифры 0 и 8. Подставим их и проверим:
1060 делится на 12, т.к. 610=60 (делится на 4) и 1+0+6+0=7 (сумма цифр = 12, делится на 3)
1080 делится на 12, т.к. 810=80 (делится на 4) и 1+0+8+0=9 (сумма цифр = 9, делится на 3)

Таким образом, цифру, которую приписали к числу 10, равна 6.