Для решения данной задачи используем формулу площади прямоугольного треугольника:

S = (a * b) / 2,

где a и b - катеты треугольника.

Из условия задачи:

S = 578,

угол A = 30 градусов.

Как известно, в прямоугольном треугольнике угол A - 90 градусов, а угол B = 30 градусов.

Поскольку tg(30) = a / b, и a = tg(30) * b, получаем:

S = (tg(30) b b) / 2 = 578,

tg(30) = sqrt(3) / 3.

Подставляем найденное значение tg(30) и находим катет:

(3^(1/2) * b^2) / 2 = 578,

3^(1/2) * b^2 = 1156,

b^2 = 1156 * 2 / 3^(1/2),

b^2 = 2312 / 3^(1/2),

b = sqrt(2312 / 3^(1/2)).

Таким образом, катет прямоугольного треугольника равен sqrt(2312 / 3^(1/2)).