Найдем корни уравнения (x+1)(2x-8)(3x+6) = 0:

(x+1)(2x-8)(3x+6) = 0

1) x + 1 = 0 => x = -1
2) 2x - 8 = 0 => x = 4
3) 3x + 6 = 0 => x = -2

Таким образом, у нас есть корни x = -1, x = 4 и x = -2.

Исследуем поведение функции в каждом из интервалов, образованных найденными корнями:

1) Для x < -2:
(x+1) < 0
(2x-8) < 0
(3x+6) < 0

Таким образом, в интервале x < -2 произведение будет положительным.

2) Для -2 < x < -1:
(x+1) > 0
(2x-8) < 0
(3x+6) < 0

Произведение будет отрицательным.

3) Для -1 < x < 4:
(x+1) > 0
(2x-8) > 0
(3x+6) < 0

Произведение будет отрицательным.

4) Для x > 4:
(x+1) > 0
(2x-8) > 0
(3x+6) > 0

Произведение будет положительным.

Итак, неравенство (x+1)(2x-8)(3x+6) ≤ 0 будет выполнено в интервалах [-2, -1] и [4, +∞).

Ответ: x ∈ [-2, -1] и x ∈ [4, +∞).