Чтобы найти общее решение дифференциального уравнения y'' - 2y' + 5y = cos(7x), сначала найдем частное решение этого уравнения.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Acos(7x) + Bsin(7x), где A и B - константы, которые нужно найти.

Теперь вычислим первую и вторую производные этого частного решения:
y'_p = -7Asin(7x) + 7Bcos(7x)
y''_p = -49Acos(7x) - 49Bsin(7x)

Подставим найденные производные обратно в исходное дифференциальное уравнение:
-49Acos(7x) - 49Bsin(7x) - 2(-7Asin(7x) + 7Bcos(7x)) + 5(Acos(7x) + Bsin(7x)) = cos(7x)

Упростим уравнение и сгруппируем по cos(7x) и sin(7x):
(-49A + 14B + 5A)cos(7x) + (-49B - 14A + 5B)sin(7x) = cos(7x)

Теперь сравниваем коэффициенты при cos(7x) и sin(7x):
-44A + 14B + 5A = 1
-44B - 14A + 5B = 0

Решим данную систему уравнений и найдем значения A и B:
-39A + 14B = 1
-14A - 39B = 0

A = -39/(-3939 - 1414) = -39/1697
B = -14/1697

Таким образом, частное решение имеет вид: y_p = (-39cos(7x) - 14sin(7x))/1697

Теперь нужно найти общее решение дифференциального уравнения. Общее решение y(x) имеет вид:
y(x) = y_h + y_p

где y_h - общее решение однородного уравнения (y'' - 2y' + 5y = 0), а y_p - частное решение найденное выше.