Для решения уравнения, нужно сначала привести его к общему знаменателю и привести подобные дроби.

Исходное уравнение:
(4z - 1)/(4z + 12) + (z + 2)/(z + 3) = 1/4

Умножим первое слагаемое на (z + 3)/(z + 3) и второе слагаемое на (4z + 12)/(4z + 12):
((4z - 1)(z + 3) + (z + 2)(4z + 12))/(4z + 12)(z + 3) = 1/4

(4z^2 + 12z - z - 3 + 4z^2 + 48z + 8z + 24)/(4z + 12)(z + 3) = 1/4
(8z^2 + 69z + 21)/(4z + 12)(z + 3) = 1/4

Умножим обе стороны на (4z + 12)(z + 3):
8z^2 + 69z + 21 = 4(4z + 12)(z + 3)

8z^2 + 69z + 21 = 4(4z^2 + 12z + 12z + 36)
8z^2 + 69z + 21 = 4(4z^2 + 24z + 36)

8z^2 + 69z + 21 = 16z^2 + 96z + 144

Перенесем все в одну часть уравнения:
8z^2 - 16z^2 + 69z - 96z + 21 - 144 = 0
-8z^2 + 25z - 123 = 0

Теперь решим полученное квадратное уравнение:
D = 25^2 - 4(-8)(-123) = 625 - 492 = 133

z = (-25 ± √133)/(-16)

z = (-25 + √133)/(-16) или z = (-25 - √133)/(-16)

Ответ: z = (-25 + √133)/(-16) или z = (-25 - √133)/(-16)