Давайте представим, что номер квартиры у Васи состоит из двух цифр $a$ и $b$. Тогда все возможные двузначные числа, которые можно образовать из этих цифр, это $10a+b$ и $10b+a$.

Таким образом, сумма всех возможных чисел равна $10a+b+10b+a=11(a+b)$. Половина этой суммы будет равна $\frac{11(a+b)}{2}$.

Из условия задачи мы знаем, что $\frac{11(a+b)}{2}=10a+b$ или $11(a+b)=20a+2b$ или $9a=10b$.

Так как $a$ и $b$ - это цифры, то $a=1$ и $b=9$. Следовательно, номер квартиры Васи - это $19$.