Для начала найдем длины сторон ромба. Пусть большая диагональ равна 6√3, тогда половина большей диагонали равна 3√3. В прямоугольном треугольнике, образованном половинной большой диагональю, меньшей диагональю и стороной ромба, можно выразить стороны ромба через углы между диагоналями и гипотенузой треугольника:

a = 3√3 sin 45 = 3√3 (√2/2) = 3
b = 3√3 sin 45 = 3√3 (√2/2) = 3

Теперь можем найти высоту призмы через болшую диагональ ромба и тангенс угла между диагональю и плоскостью основания:

h = 6√3 tan 30 = 6√3 1/√3 = 6

Теперь можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту:

V = abh = 336 = 54

Ответ: объем призмы равен 54.