Для нахождения производной функции (y = (\arcsin x)^x), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции.

Предположим, что функция имеет вид:

[ f(x) = u^v, ]

где (u = \arcsin x) и (v = x).

Применяя правило дифференцирования сложной функции, получаем:

[ f'(x) = v \cdot u^{v-1} \cdot u' + \ln(u) \cdot u^v \cdot v'. ]

Теперь применим это правило к нашей функции (y = (\arcsin x)^x):

[ u = \arcsin x, ]
[ v = x. ]

[ y' = x \cdot (\arcsin x)^{x-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \ln(\arcsin x) \cdot (\arcsin x)^x \cdot 1. ]

Таким образом, производная функции (y = (\arcsin x)^x) равна:

[ y' = x \cdot (\arcsin x)^{x-1} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} + \frac{\ln(\arcsin x) \cdot (\arcsin x)^x}{\sqrt{1-x^2}}. ]