Для начала проверим базу индукции:
При n=1: 3=(1)(1+2) => 3=3
При n=2: 3+5+7=(2)(2+2) => 15=8

Теперь предположим, что равенство верно для n=k:
3+5+7+...+(2k+1)=k(k+2)

Докажем, что это верно для n=k+1:
3+5+7+...+(2k+1) + (2(k+1)+1) = k(k+2) + (2(k+1)+1)
3+5+7+...+(2k+1) + (2k+2+1) = k(k+2) + 2k + 2 + 1
3+5+7+...+(2k+1) + (2k+3) = k^2 + 2k + 1 + 2k + 2 + 1
3+5+7+...+(2k+1) + (2k+3) = k^2 + 4k + 3
3+5+7+...+(2k+3) = (k+1)(k+3)

Таким образом, равенство верно для всех натуральных чисел n по методу математической индукции.