Для начала рассмотрим треугольник AKD. Из условия известно, что AK - биссектриса угла A, значит, угол KAD равен углу KDA. Также AK является медианой треугольника ADK, поэтому AK делит ДK пополам.

Таким образом, в треугольнике AKD получаем прямоугольный треугольник с катетами AD = 10 см и DK, где DK = AK/2. По теореме Пифагора:

DK^2 + AK^2 = AD^2
(DK)^2 + (AK/2)^2 = 10^2
(DK)^2 + (AK)^2/4 = 100
(DK)^2 + (AK)^2 = 400
DK^2 = 400 - AK^2

Теперь рассмотрим трапецию AKCD. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть AK и DC. Зная, что DC равно DK + KC, можно записать:

Средняя линия = (AK + DC) / 2
Средняя линия = (AK + (DK + KC)) / 2
Средняя линия = (AK + DK + KC) / 2
Средняя линия = (AK + √(400 - AK^2) + KC) / 2

Поскольку треугольники AKD и AKC подобны (так как AK является биссектрисой угла A), то AK/AD = KC/DC, то есть AK/10 = KC/(DK + KC). Решив эту пропорцию, найдем значение KC:

AK/10 = KC/(DK + KC)
AK(DK + KC) = 10KC
AKDK + AKKC = 10KC
AKDK = 9KC
KC = AKDK / 9

Теперь можем подставить найденное значение KC в формулу для средней линии трапеции:

Средняя линия = (AK + √(400 - AK^2) + AKDK / 9) / 2

Подставляем значения AK = 6 см и AKDK = 9KC:

Средняя линия = (6 + √(400 - 6^2) + 9AK / 9) / 2
Средняя линия = (6 + √(400 - 36) + 6) / 2
Средняя линия = (6 + √364 + 6) / 2
Средняя линия = (12 + √364) / 2
Средняя линия ≈ (12 + 19.1) / 2
Средняя линия ≈ 31.1 / 2
Средняя линия ≈ 15.55

Таким образом, средняя линия трапеции AKCD равна примерно 15.55 см.