1) Начнем с первого уравнения:
x^3 - 6x^2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0

Выразим y из уравнения:
y = (x^3 - 6x^2 + 13x + 7) / (x - 3)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
x^3 - x((x^3 - 6x^2 + 13x + 7) / (x - 3)) - 7x + 2((x^3 - 6x^2 + 13x + 7) / (x - 3)) + 23 = 0

Упростим уравнение, умножив обе части на (x - 3) для избавления от знаменателя:
x^3(x - 3) - x(x^3 - 6x^2 + 13x + 7) - 7x(x - 3) + 2(x^3 - 6x^2 + 13x + 7) + 23(x - 3) = 0

Раскроем скобки:
x^4 - 3x^3 - x^4 + 6x^3 - 13x^2 - 7x + 7x - 13 + 2x^3 - 12x^2 + 26x + 14 + 23x - 69 = 0

x^4 - x^2 - 8x = 0

Факторизуем уравнение:
x(x^3 - x - 8) = 0

x = 0

Теперь найдем соответствующее значение y:
y = (0^3 - 6(0)^2 + 13(0) + 7) / (0 - 3)
y = 7 / -3
y = -2

Таким образом, целочисленное решение уравнения (1) это (0, -2).

2) Второе уравнение:
x^3 - xy - 7x + 2y + 23 = 0

Выразим y из уравнения:
y = (x^3 - 7x + 23) / (x - 2)

Подставим это выражение в уравнение:
x^3 - x((x^3 - 7x + 23) / (x - 2)) - 7x + 2((x^3 - 7x + 23) / (x - 2)) + 23 = 0

Упростим уравнение и избавимся от дробей:
x^3(x - 2) - x(x^3 - 7x + 23) - 7x(x - 2) + 2(x^3 - 7x + 23) + 23(x - 2) = 0

x^4 - 2x^3 - x^4 + 7x^2 + 23x - 7x^2 + 2x^3 - 14x + 46 + 23x - 46 = 0

0 = 0

Уравнение верно для всех целых чисел x, следовательно, уравнение имеет бесконечно много целочисленных решений.

Таким образом, второе уравнение имеет бесконечное количество целочисленных решений.