Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель равен b. Тогда четвертый член будет равен ab^3, а шестой член будет равен ab^5.

По условию, четвертый член меньше шестого на 64. То есть ab^3 = ab^5 - 64.

Также по условию, пятый член больше третьего на 192. То есть ab^4 = ab^2 + 192.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) ab^3 = ab^5 - 64

2) ab^4 = ab^2 + 192

Делим второе уравнение на первое:

ab^4 / ab^3 = (ab^2 + 192) / (ab^5 - 64)

b = (ab^2 + 192) / (ab^5 - 64)

b = (b^2 + 192) / (b^5 - 64)

b = b^2 / b^5 - 64/b^5 + 192/b^5

1 = 1 / b^3 - 64/b^5 + 192/b^5

b^3 = b^5 - 64 - 192

b^3 = b^5 - 256

b^5 - b^3 = 256

b^3(b^2 - 1) = 256

b^3(b + 1)(b - 1) = 256

Таким образом, видно, что b^3, b + 1 и b - 1 являются делителями числа 256. Рассмотрим все делители 256 и подберём из них возможные значения для b, а затем найдем соответствующие значения для а.

256 = 2^8 = 2^3*2^5

Делители 256: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256

Подберем значения для b:

1) b^3 = 1, b + 1 = 2, b - 1 = 1 --> b = 1, a = ab = 1

2) b^3 = 1, b + 1 = 4, b - 1 = 2 --> b = 2, a = ab = 2

3) b^3 = 8, b + 1 = 2, b - 1 = 1 --> решения не подходят

4) b^3 = 8, b + 1 = 4, b - 1 = 2 --> b = 2, a = ab = 4

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 1 или 4, в зависимости от того, какой знаменатель b выбрать.