Для того чтобы найти промежутки монотонности функции f(x) = 1/3x^2 + 1/2x^2 + 1, нужно найти производную функции и найти её нули.

f'(x) = (2/3)x + x

f'(x) = (5/3)x

Теперь найдем нули производной:

(5/3)x = 0

x = 0

Теперь мы можем построить таблицу знаков и определить промежутки монотонности:

x < 0: f'(x) < 0, значит функция убывает на этом промежутке
x > 0: f'(x) > 0, значит функция возрастает на этом промежутке

Итак, функция убывает на промежутке (-∞, 0) и возрастает на промежутке (0, +∞).