Данное уравнение можно упростить, заметив, что ( \cos^2x = 1 - \sin^2x ). Тогда уравнение примет вид:

[ 3\sin^2x + \sin2x + 1 - \sin^2x = 1 ]

[ 2\sin^2x + \sin2x = 0 ]

[ 2\sin^2x + 2\sin x \cos x = 0 ]

[ 2\sin x(\sin x + \cos x) = 0 ]

Таким образом, уравнение имеет два корня: ( \sin x = 0 ) и ( \sin x + \cos x = 0 ).

Корень уравнения ( \sin x = 0 ) на интервале [0;π] - это x = 0 и x = π.

Чтобы найти корень уравнения ( \sin x + \cos x = 0 ), возводим это уравнение в квадрат:

[ (\sin x + \cos x)^2 = 0 ]

[ \sin^2x + 2\sin x \cos x + \cos^2x = 0 ]

[ 1 + 2\sin x \cos x = 0 ]

[ 2\sin x \cos x = -1 ]

[ \sin 2x = -1 ]

На промежутке [0;π] решение этого уравнения будет x = (3π)/4.

Таким образом, количество различных корней уравнения 3sin²x + sin2x + cos²x = 1 на промежутке от [0;π] равно 3: x = 0, x = π, x = (3π)/4.