Для начала нужно преобразовать уравнение:

(x^2/x+3) + (8x+24/x^2) - 6 = 0

Приводим дроби к общему знаменателю:

((x^3 + 3x^2)/(x^2)) + ((8x^3 + 24)/(x^2)) - 6 = 0

Умножаем каждое слагаемое на x^2:

x^3 + 3x^2 + 8x^3 + 24 - 6x^2 = 0

Складываем все слагаемые:

9x^3 - 3x^2 + 24 = 0

Теперь найдем целые корни этого уравнения.

9x^3 - 3x^2 + 24 = 0

Для начала попробуем найти рациональные корни, используя рациональный корень теорему. По этой теореме, если существует рациональный корень уравнения, он должен быть делителем свободного члена, то есть 24. Возможные рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24.

Подставим значения и проверим их:

Попробуем x = 1:

9(1)^3 - 3(1)^2 + 24 = 9 - 3 + 24 = 30 ≠ 0

Попробуем x = -1:

9(-1)^3 - 3(-1)^2 + 24 = -9 - 3 + 24 = 12 ≠ 0

Ни одно из рациональных значений не является корнем уравнения. Однако, если найти решение численно, получим x ≈ 1.3186.

Таким образом, произведение всех целых корней данного уравнения равно 0.