Для того чтобы найти область определения квадратного корня из выражения -х^2 + 5х + 14, мы должны найти все значения x, при которых выражение находится в пределах области определения квадратного корня.

Для квадратного корня значение под знаком корня должно быть неотрицательным (больше или равно нулю). Таким образом, нам нужно найти значения x, при которых -х^2 + 5x + 14 ≥ 0.

Давайте решим эту квадратное неравенство:

-х^2 + 5x + 14 ≥ 0

Для начала, найдем корни квадратного уравнения -х^2 + 5x + 14 = 0:

x = (-5 ± √(5^2 - 4(-1)14))/(2*(-1))
x = (-5 ± √(25 + 56))/(-2)
x = (-5 ± √81)/(-2)
x = (-5 ± 9)/(-2)

Таким образом, корни уравнения равны x = (-5 + 9)/(-2) = 2 и x = (-5 - 9)/(-2) = 7.5.

Теперь построим числовую прямую и определим интервалы, в которых выражение -х^2 + 5x + 14 ≥ 0. В результате решения неравенства получаем, что область определения квадратного корня из -х^2 + 5x + 14 составляет:

(-∞, 2] ∪ [7.5, +∞)