a) Для решения уравнения преобразуем его:
sin7x - sinx = √2cos4x

sin(7x) - sin(x) = √2 (2cos^2(2x) - 1)
sin(7x) - sin(x) = √2 (2(1 - sin^2(2x)) - 1)
sin(7x) - sin(x) = √2 (2 - 2sin^2(2x) - 1)
sin(7x) - sin(x) = √2 (1 - 2sin^2(2x))

sin(7x) - sin(x) = √2 - 2√2sin^2(2x)
(sin(7x) - sin(x)) / √2 = 1 - 2(sin^2(2x))

Сделаем замену y = sin(2x):

(sin(7x) - sin(x)) / √2 = 1 - 2y^2

sin(7x)√2 - sin(x)√2 = √2 - 2√2y^2
√2 * (sin(7x) - sin(x)) = √2 - 2√2y^2

Теперь решим уравнение вида x - y = k

sin(7x) - sin(x) = 1/√2
sin((7x - x)/2)cos((7x + x)/2) = 1/√2
sin(3x)cos(4x) = 1/√2
sin(3x)cos(4x) = sin(π/4)

Теперь из уравнения sin(3x)cos(4x) = sin(π/4) найдем корни уравнения.

b) Корни уравнения зависят от общих корней уравнений sin(3x) = sin(π/4) и cos(4x) = 1.

1) sin(3x) = sin(π/4)
Определим углы, удовлетворяющие этому уравнению:
3x = π/4 + 2πn
x = (π/4 + 2πn)/3

2) cos(4x) = 1
Определим углы, удовлетворяющие этому уравнению:
4x = 2πm
x = πm/2

Где n и m - целые числа.

Таким образом, корни уравнения с уравнением sin7x - sin x =корень из 2 cos 4x равны:
x = ((π/4 + 2πn)/3) или x = (πm/2), где n и m - целые числа.