Для начала найдем общее решение дифференциального уравнения:

Выразим y' через y:

xy' = sqrt(1-y^2)

y' = sqrt(1-y^2)/x

Отделим переменные:

dy/sqrt(1-y^2) = dx/x

Проинтегрируем обе части:

∫(1/sqrt(1-y^2))dy = ∫dx/x

Арксинус-подобная замена y = sin(u):

∫du = ∫dx/x

ln|x| = ln|u| + C

ln|x| = ln|sin(u)| + C

x = ±sin(u)e^C

x = ±sqrt(1-y^2)e^C

y = ±sqrt(1-(x^2)e^-2C)

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1/2:

y = sqrt(1-(x^2)e^-2C)

Подставим x = 1 и y = 1/2:

1/2 = sqrt(1-(1)e^-2C)

1/4 = 1-e^-2C

e^-2C = 3/4

-2C = ln(3/4)

C = -ln(3/4)/2

Таким образом, частное решение уравнения y = sqrt(1-(x^2)e^ln(4/3)) = sqrt(1-(x^2)(4/3)).

Итак, частное решение уравнения dу/dx = sqrt(1-y^2) с начальным условием у(1) = 1/2 имеет вид y = sqrt(1-(x^2)(4/3)).