Находим производную функции f(x):

f'(x) = (1/2)(1+sin(x))^(-1/2)cos(x)

Точки экстремума - значения x, для которых f'(x) = 0:

(1+sin(x))^(-1/2)cos(x) = 0
cos(x) = 0
x = pi/2, 3pi/2

Проверяем значения на краях интервала [0;pi] и найденные точки экстремума:

f(0) = sqrt(1+sin(0)) = sqrt(1) = 1
f(pi/2) = sqrt(1+sin(pi/2)) = sqrt(2)
f(3pi/2) = sqrt(1+sin(3pi/2)) = sqrt(0) = 0
f(pi) = sqrt(1+sin(pi)) = sqrt(1) = 1

Самое большое значение - sqrt(2), наименьшее - 0.