Для того чтобы доказать, что √(23+x^11) никогда не будет целым числом, если x является целым числом, можно воспользоваться методом от противного.

Предположим, что √(23+x^11) = n, где n - целое число. Тогда можно возвести обе части уравнения в квадрат и получить 23 + x^11 = n^2.

Заметим, что если x - целое число, то x^11 также будет целым числом, так как возведение целого числа в целую степень даст целое число.

Таким образом, уравнение 23 + x^11 = n^2 будет иметь решение только в случае, если n^2 - 23 является полным квадратом. Однако, при рассмотрении данного уравнения неточноем, что x^11 - всегда будет больше 23, так как при любых целых значениях x, x^11 будет иметь большее значение, чем 23.

Следовательно, уравнение 23 + x^11 = n^2 не будет иметь решения для целых значений x и n, что означает, что √(23+x^11) никогда не будет целым числом, если x является целым числом.