Поскольку треугольник АВС - равнобедренный, то он также является прямоугольным.

Из условия, cos угла А = 4/5, следовательно, сторона АС равна 5 (по теореме Пифагора).

Теперь мы можем найти высоту проведенную к основанию. Пусть h - искомая высота.

По условию, боковая сторона АВ равна 10. Поскольку треугольник прямоугольный, применим теорему Пифагора:

AB^2 = AC^2 + BC^2
10^2 = 5^2 + h^2
100 = 25 + h^2
h^2 = 75

Отсюда получаем, что h = √75 = 5√3.

Таким образом, высота, проведенная к основанию треугольника АВС, равна 5√3.