В четырёхугольнике ABCD биссектриса угла DAB пересекает сторону CD в точке K а биссектриса угла CBA пересекает сторону CD в точке L, причём точка K лежит между точками D и L. Оказалось, что BK⊥KA и BL⊥LA. Докажите, что ∠BCD=∠ADC.
В четырёхугольнике ABCD биссектриса угла DAB пересекает сторону CD в точке K а биссектриса угла CBA пересекает сторону CD в точке L, причём точка K лежит между точками D и L. Оказалось, что BK⊥KA и BL⊥LA. Докажите, что ∠BCD=∠ADC.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Из условия задачи имеем, что BK перпендикулярна KA и BL перпендикулярна LA. Тогда треугольники BKA и BLA являются прямоугольными.
Так как BK и BL являются биссектрисами углов DAB и CBA соответственно, то угол ABK равен углу KBA, а угол ABL равен углу LBA.
Заметим, что в прямоугольных треугольниках BKA и BLA угол AKB равен 90°- углу BKA, а угол ALB равен 90°- углу LBA. Поэтому угол DAK равен 90°- углу ADB, а угол CBL равен 90°- углу CBA.
Теперь, продлим отрезки AK и AL до пересечения с отрезками BC и CD соответственно (обозначим точки пересечения M и N).
Так как углы BAK и BAL равны, а углы BKA и BLA равны, треугольники BKM и BLM равны по двум сторонам и углу между ними.
Так как AD и BC параллельны (по косинусной теореме, проекция вектора AD на вектор BC равна нулю), углы BCD и ADC равны (они равны углам в треугольниках BCD и ADC), что и требовалось доказать.