Антон написал мелом на асфальте числа 1, 2, …, 1000. Каждые 5 минут дождь смывает с асфальта по два числа. Антон написал мелом на асфальте числа 1, 2, …, 1000. Каждые 5 минут дождь смывает с асфальта по два числа. Вместо смытых чисел x и y Антон сразу же записывает на асфальт число xy+x+y. Докажите, что число, которое останется на асфальте последним, не зависит от того, в каком порядке дождь смывал числа.
Антон написал мелом на асфальте числа 1, 2, …, 1000. Каждые 5 минут дождь смывает с асфальта по два числа. Антон написал мелом на асфальте числа 1, 2, …, 1000. Каждые 5 минут дождь смывает с асфальта по два числа. Вместо смытых чисел x и y Антон сразу же записывает на асфальт число xy+x+y. Докажите, что число, которое останется на асфальте последним, не зависит от того, в каком порядке дождь смывал числа.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Давайте докажем это утверждение по индукции.
База индукции: Для n = 2 очевидно, что останется число 3, так как 1*2+1+2 = 3.
Предположение индукции: Пусть утверждение верно для n = k, т.е. последним останется число S(k).
Шаг индукции: Докажем утверждение для n = k + 1. Пусть до этого были записаны числа 1, 2, ..., k. Когда дождь смоет числа k и k + 1, то на асфальте останется k + (k + 1) + 1 = 2k + 2. Применяя предположение индукции, заменим 2k + 2 на S(k), получим S(k) + k + 1 = S(k + 1).
Таким образом, мы доказали, что для всех n числом, которое останется на асфальте последним, будет S(1000) = 3. Следовательно, это число не зависит от порядка смывания чисел.