Для начала определим, что такое инверсия. Инверсия точки A относительно окружности с центром O и радиусом r определяется следующим образом: точка A' – образ точки A после инверсии, такой, что OA*OA' = r^2.

Теперь докажем, что инверсия гиперболы Γ относительно окружности ω дает лемнискату Бернулли.

Пусть P = (x, y) – точка на гиперболе Γ, инверсия которой точка P' = (x', y') лежит на лемнискате Бернулли.

Так как точки P и P' лежат на одной прямой, проходящей через центр инверсии O, то по свойству инверсии:

OP * OP' = r^2, где r – радиус окружности инверсии.

Так как точка P лежит на гиперболе Γ, то x^2 - y^2 = c, где c – некоторая постоянная.

Имеем:

OP^2 = x^2 + y^2

OP'^2 = x'^2 + y'^2

Так как точка P лежит на гиперболе Γ, причем Γ и окружность ω имеют общий центр O, то по свойству инверсии:

OP * OP' = r^2

(x^2 + y^2)(x'^2 + y'^2) = r^2

Подставив x^2 - y^2 = c, получаем:

(c + y^2)(x'^2 + y'^2) = r^2

Так как P' лежит на лемнискате Бернулли, то x'^2 * y'^2 = r^2, то есть:

r^2 - cy^2 = r^2

c = 0

Таким образом, лемниската Бернулли является образом гиперболы Γ при инверсии относительно окружности ω.