Для вычисления площади криволинейной трапеции необходимо найти площадь фигуры, заключенной между кривыми y=x^3+3x^2 и y=0, а также между вертикальными прямыми x=1 и x=4.

Сначала найдем точки пересечения кривых y=x^3+3x^2 и y=0:

x^3+3x^2=0
x^2(x+3)=0

Таким образом, получаем два корня: x=0 и x=-3. Однако, с учетом отрезка [1;4], рассматривается лишь корень x=0.

Площадь трапеции равна интегралу от y=0 до y=x^3+3x^2 по переменной x на отрезке [1;4]:

S = ∫[1;4] [x^3+3x^2]dx
S = (1/4)x^4 + x^3|1->4
S = (1/4)4^4 + 4^3 - [(1/4)1^4 + 1^3]
S = 64 + 64 - (1/4 + 1)
S = 128 - (5/4)
S = 123/4

Итак, площадь криволинейной трапеции фигуры равна 123/4 или 30.75.