Для нахождения интеграла данной функции x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 на отрезке −1,1-1, 1−1,1, нужно вычислить определенный интеграл от этой функции по переменной x на интервале −1,1-1, 1−1,1.
Интеграл от x^2 - 6x + 10 по переменной x на интервале −1,1-1, 1−1,1 будет равен:
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 dx = ∫[from−1to1]x2dx∫[from -1 to 1] x^2 dx∫[from−1to1]x2dx - ∫[from−1to1]6xdx∫[from -1 to 1] 6x dx∫[from−1to1]6xdx + ∫[from−1to1]10dx∫[from -1 to 1] 10 dx∫[from−1to1]10dx.
Выполним поочередно интегрирование каждого слагаемого:
Для нахождения интеграла данной функции x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 на отрезке −1,1-1, 1−1,1, нужно вычислить определенный интеграл от этой функции по переменной x на интервале −1,1-1, 1−1,1.
Интеграл от x^2 - 6x + 10 по переменной x на интервале −1,1-1, 1−1,1 будет равен:
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 dx = ∫[from−1to1]x2dx∫[from -1 to 1] x^2 dx∫[from−1to1]x2dx - ∫[from−1to1]6xdx∫[from -1 to 1] 6x dx∫[from−1to1]6xdx + ∫[from−1to1]10dx∫[from -1 to 1] 10 dx∫[from−1to1]10dx.
Выполним поочередно интегрирование каждого слагаемого:
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 x^2 dx = x3/3x^3 / 3x3/3 |from−1to1from -1 to 1from−1to1 = 13/31^3 / 313/3 - −13/3-1^3 / 3−13/3 = 1/3 + 1/3 = 2/3.
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 6x dx = 6 ∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 x dx = 6 x2/2x^2 / 2x2/2 |from−1to1from -1 to 1from−1to1 = 6 12/2−(−1)2/21^2 / 2 - (-1)^2 / 212/2−(−1)2/2 = 6 1/2−1/21/2 - 1/21/2−1/2 = 0.
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 10 dx = 10 ∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 dx = 10 xxx |from−1to1from -1 to 1from−1to1 = 10 1−(−1)1 - (-1)1−(−1) = 10 2 = 20.
Итак, интеграл от x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 на интервале −1,1-1, 1−1,1 равен:
∫from−1to1from -1 to 1from−1to1 x2−6x+10x^2 - 6x + 10x2−6x+10 dx = 2/3 - 0 + 20 = 2/3 + 20 = 62/3.