Для решения данной системы уравнений найдем значения переменных a, b и c.

1) Для удобства, выразим c из первого уравнения: c = 8 - a + b

2) Подставим c из первого уравнения во второе: а(8 - a + b) - ab - b(8 - a + b) = 12

3) Упростим уравнение: 8a - a^2 + ab - ab - 8b + ab + b^2 = 12
8a - a^2 - 8b + b^2 = 12

4) Теперь запишем исходное уравнение: a^2 + b^2 + c^2

5) Подставим выражение для c из первого уравнения: a^2 + b^2 + (8 - a + b)^2

6) Раскроем скобки: a^2 + b^2 + 64 - 16a + 8b + a^2 - 2ab + b^2

7) Сложим все полученные члены: 2a^2 + 2b^2 + 8b - 16a + 64 - 2ab

Теперь, имея найденное выражение и подставив значение ab = 12 в уравнение 8a - a^2 - 8b + b^2 = 12, найдем значения a и b.

a = 2, b = -6

Теперь подставим найденные значения в 2a^2 + 2b^2 + 8b - 16a + 64 - 2ab и выразим конечный результат:

A = 2^2 = 4
B = -6^2 = 36
C = 8 - 2 + (-6) = 0

Ответ: A^2 + b^2 + c^2 = 40.