Для того, чтобы система имела единственное решение, необходимо и достаточно, чтобы уравнение y-x=a было непрерывным графиком и не пересекалось с гиперболой y^2 + ax^2 - a^2 = 4 больше, чем в одной точке.

Подставим выражение y=a+x из уравнения y-x=a в уравнение с гиперболой:
(a+x)^2 + ax^2 - a^2 = 4
a^2 + 2ax + x^2 + ax^2 - a^2 =4
2ax + x^2 + ax^2 = 4
(x^2 + 2ax + a^2) - a^2 = 4
(x+a)^2 = 4+a^2
x+a = +/- sqrt(4+a^2)

Таким образом, нам необходимо, чтобы график функции y=a+x не пересекалось с гиперболой в двух точках, значит:
sqrt(4+a^2) - (-sqrt(4+a^2)) ≠ 0
2*sqrt(4+a^2) ≠ 0
sqrt(4+a^2) ≠ 0
4+a^2 > 0
a^2 > -4

Следовательно, все значения параметра a, при которых система { y^2 + ax^2 -a^2 =4 , y-x = a имеет единственное решение, это a ∈ (-∞, ∞).