1)
a) Для доказательства того, что F(x) является первообразной для f(x) на R, необходимо показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).
F'(x) = -sin(x)/2 - 3x^2
f(x) = 1/2 sin(x/2) - 3x^2

Таким образом, F(x) является первообразной для f(x).

2)
a) Общий вид первообразных для функции f(x) = 4x^3 + cos(x) будет:
F(x) = x^4 + sin(x) + C, где C - произвольная постоянная.

б) Общий вид первообразных для функции f(x) = 4x^5 - 3 будет:
F(x) = x^6 - 3x + C, где C - произвольная постоянная.

3)
a) Для функции f(x) = (x+4)^2 и значения F(-4) = 3, нужно найти первообразную F(x).
F(x) = (x+4)^3/3 + C
Подставляя x = -4, получаем:
3 = (0)^3/3 + C
C = 3
Таким образом, F(x) = (x+4)^3/3 + 3 будет первообразной f(x), удовлетворяющей условию.

б) Для функции f(x) = 1/√x и значения F(4) = 4, нужно найти первообразную F(x).
F(x) = 2√x + C
Подставляя x = 4, получаем:
4 = 2√4 + C
C = 0
Таким образом, F(x) = 2√x будет первообразной f(x), удовлетворяющей условию.