Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле ( S = \frac{ab}{2} ), где a и b - длины катетов, а S - площадь треугольника.

По условию задачи, площадь треугольника равна 42 см(^2), то есть ( 42 = \frac{ab}{2} ). Разделим обе стороны на 2 и получим ( ab = 84 ).

Также из условия задачи известно, что сумма длин катетов равна 15,5 см, т.е. ( a + b = 15,5 ).

Для нахождения длины гипотенузы воспользуемся теоремой Пифагора: ( c^2 = a^2 + b^2 ), где c - длина гипотенузы.

Так как ( a + b = 15,5 ), то ( b = 15,5 - a ). Подставим это выражение в уравнение ( ab = 84 ): ( a(15,5 - a) = 84 ).

Отсюда получаем квадратное уравнение ( a^2 - 15,5a + 84 = 0 ). Решив его, получим два корня: a = 7 и a = 12,5.

Подставляем найденные значения k в уравнение ( a + b = 15,5 ), для a = 7 получается b = 8,5, для a = 12,5 получается b = 3 см.

Таким образом, для треугольника с катетами 7 см и 8,5 см гипотенуза равна
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{7^2 + 8,5^2} \approx \sqrt{49 + 72,25} \approx \sqrt{121,25} \approx 11 см.
]

А для треугольника с катетами 12,5 и 3 гипотенуза равна
[
c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{12,5^2 + 3^2} \approx \sqrt{156,25 + 9} \approx \sqrt{165,25} \approx 12,85 см.
]