Пусть числа равны a и b. Тогда разность их кубов можно представить как (a^3 - b^3) = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Из условия задачи получаем уравнение: a^3 - b^3 = 331.

Таким образом, получаем уравнение a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) = 331.

Так как разность кубов равна 331, то (a - b) должно быть равно 1, так как 331 - 1 = 330, и только разность цифр в данном случае равна единице.

Таким образом, у нас получается система уравнений:
a - b = 1,
a^2 + ab + b^2 = 331.

Из первого уравнения получаем:
a = b + 1.

Подставляем это значение во второе уравнение:
(b + 1)^2 + (b + 1)b + b^2 = 331,
b^2 + 2b + 1 + b^2 + b + b^2 = 331,
3b^2 + 3b - 330 = 0,
b^2 + b - 110 = 0.

Далее находим корни этого квадратного уравнения:
b1 = 10, b2 = -11.

Так как числа должны быть натуральными, то b = 10.
Тогда a = b + 1 = 11.

Итак, искомые числа: a = 11, b = 10.