Да, Петя сможет разложить все монеты по карманам так, чтобы количество в каждом кармане было различным. Воспользуемся следующим способом распределения монет:

1 карман: 1 монета
2 карман: 2 монеты
3 карман: 3 монеты
4 карман: 4 монеты
5 карман: 5 монет
6 карман: 6 монет
7 карман: 7 монет
8 карман: 8 монет
9 карман: 9 монет
10 карман: 44 - (1+2+3+4+5+6+7+8+9) = 44 - 45 = -1 (невозможно поместить отрицательное количество монет)
факт демонстрирует, что петя не сможет разложить все свои монеты по карманам так, чтобы количество в каждом кармане было бы различным.