Для доказательства, что уравнение x^2 + px + p^2 + 2 = 0 не имеет корней при любом значении p, давайте воспользуемся дискриминантом.

Дискриминант квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0 определяется как D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении коэффициент a = 1, коэффициент b = p, а коэффициент c = p^2 + 2.

Подставим значения коэффициентов в дискриминант:

D = p^2 - 4 (1) (p^2 + 2)
D = p^2 - 4p^2 - 8
D = -3p^2 - 8

Таким образом, дискриминант данного уравнения равен -3p^2 - 8.

Для того чтобы уравнение не имело корней, дискриминант должен быть меньше или равен нулю:

-3p^2 - 8 ≤ 0
-3p^2 ≤ 8
p^2 ≥ 8/3

Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то уравнение не имеет корней при любом значении p.