Для начала раскроем скобки в левой части неравенства:

(a+b)(2a+b) = 2a^2 + ab + 2ab + b^2
= 2a^2 + 3ab + b^2

Теперь из данного условия - a < 0 и b > 0 - мы видим, что все члены в этом выражении могут быть отрицательными, нулевыми или положительными.

Попробуем сначала на случай, когда a и b отрицательные.

Тогда пусть a = -|a|, b = |b| (т.е. a отрицательное и b положительное). Тогда:

2a^2 + 3ab + b^2 = 2(-|a|)^2 + 3(-|a|)(|b|) + (|b|)^2

Учитывая, что -|a|^2 = |a|^2 и -|a|*|b| = |a||b|, мы получаем:

2(-|a|)^2 + 3(-|a|)(|b|) + (|b|)^2 = 2|a|^2 - 3|a||b| + |b|^2

Так как a < 0, то |a| > 0, также как и |b|. Значит все члены выражения положительные, и основываясь на неравенствах для квадратов (они всегда больше либо равны нулю), видим, что это выражение всегда положительное.

Теперь рассмотрим случай, когда a и b положительные.

В этом случае нам не нужно заменять значения a и b на их модули, так как они уже положительные. Теперь выражение примет вид:

2a^2 + 3ab + b^2 = 2a^2 + 3ab + b^2

Все члены этого выражения положительные, так как a и b положительны, и значит выражение тоже положительное.

Наконец, рассмотрим случай, когда a отрицательное, а b положительное.

Пусть a = -|a|, b = |b|, как в первом случае. Тогда:

2a^2 + 3ab + b^2 = 2(-|a|)^2 + 3(-|a|)(|b|) + (|b|)^2

Раскрыв скобки и используя те же преобразования, что и в первом случае, мы получаем, что это выражение также положительное.

Таким образом, мы доказали, что (a+b)(2a+b) > 0 для всех значений a < 0 и b > 0.