Пусть дан выпуклый четырехугольник ABCD, а точка O внутри этого четырехугольника.

Обозначим длины сторон четырехугольника как a, b, c и d, а длины от точки O до вершин как x, y, z и t.

По неравенству треугольника:
x + y > z,
x + z > y,
x + t > y,
y + z > x,
y + t > x,
z + t > x.

Сложим все эти неравенства:
2(x + y + z + t) > 2(x + y + z + t),
что эквивалентно
x + y + z + t > x + y + z + t.

Таким образом, сумма расстояний от точки O до вершин четырехугольника больше чем сумма сторон четырехугольника, то есть больше полупериметра.