Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции y = x + 1 / x^2 + 2x + 2 используем метод дифференцирования.

Сначала найдем производную функции y:
y' = (1 - 2x) / x^3

Находим стационарные точки, приравнивая производную к нулю:
(1 - 2x) / x^3 = 0
1 - 2x = 0
x = 1/2

Точка x = 1/2 является точкой экстремума. Проверим ее на минимум или максимум, подставив значения во вторую производную:
y'' = 6 / x^4

Подставляем x = 1/2:
y'' = 6 / (1/16)
y'' = 96

Так как значение второй производной положительное, то найденная точка x = 1/2 является точкой минимума функции.

Теперь подставляем найденную точку в исходную функцию y:
y(1/2) = 1/2 + 1 / (1/4) + 2*1/2 + 2
y(1/2) = 1/2 + 4 + 1 + 2
y(1/2) = 7.5

Следовательно, наибольшее значение функции y равно 7.5, а наименьшее значение функции не ограничено.