Теперь построим знаки функции f(x) = x^2 - 32x на интервалах (-∞, 0), (0, 32), и (32, +∞):
f(x) = x^2 - 32x f'(x) = 2x - 32
Таблица знаков: x | f'(x) | f(x)
(x < 0) | - | + (0, 32) | + | - (x > 32) | + | +
Итак, неравенство x^2 - 32x < 0 выполняется на интервалах (0, 32). Таким образом, решением неравенства будет множество всех x, принадлежащих открытому интервалу (0, 32): 0 < x < 32.
Сначала найдем корни уравнения x^2 - 32x = 0:
x^2 - 32x = 0
x(x - 32) = 0
x = 0 или x = 32
Теперь построим знаки функции f(x) = x^2 - 32x на интервалах (-∞, 0), (0, 32), и (32, +∞):
f(x) = x^2 - 32x
Таблица знаков:f'(x) = 2x - 32
x | f'(x) | f(x)
(x < 0) | - | +
(0, 32) | + | -
(x > 32) | + | +
Итак, неравенство x^2 - 32x < 0 выполняется на интервалах (0, 32). Таким образом, решением неравенства будет множество всех x, принадлежащих открытому интервалу (0, 32): 0 < x < 32.