Площадь внутренней окружности: A1 = πr₁²
Площадь внешней окружности: A2 = πr₂²

Площадь кольца равна разности площадей двух окружностей:
A = A2 - A1 = π(r₂² - r₁²)

Так как площадь кольца равна 64π см², то:
64π = π(r₂² - r₁²)
(r₂² - r₁²) = 64

Так как около правильного шестиугольника описана окружность, а внутри вписана, то радиусы этих окружностей связаны следующим образом:
r₂ = 2r₁

Таким образом, (2r₁)² - r₁² = 64
4r₁² - r₁² = 64
3r₁² = 64
r₁² = 64/3
r₁ = √(64/3) = 8/√3 = 8√3 / 3

Теперь найдем сторону шестиугольника.
Пусть a - сторона шестиугольника, тогда радиус описанной окружности равен a / √3 и радиус вписанной окружности равен a / (2√3).

Таким образом, a / √3 = 8√3 / 3
a = (8√3 / 3) * √3
a = 8

Итак, сторона шестиугольника равна 8 см.