Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза - c.

Так как биссектриса делит гипотенузу на отрезки 5 и 10 см, то теорема о трёх центрах утверждает, что (c^2 = ab + 2 \cdot 5 \cdot 10 = ab + 100)

Известно, что (c^2 = a^2 + b^2), а также (a + b + c = S ), где S - площадь треугольника.

Таким образом, уравнения:

( c^2 = a^2 + b^2 )( c^2 = ab + 100 )( a + b + c = S )

Найдем c:

( a = 5, b = 10 )

Тогда:

( c^2 = 5^2 + 10^2 )
( c^2 = 25 + 100 )
( c^2 = 125 )
( c = \sqrt{125} = 5 \sqrt{5} ) см

Теперь найдем площадь треугольника:

( S = a + b + c )
( S = 5 + 10 + 5 \sqrt{5} )
( S = 15 + 5\sqrt{5} ) см

Площадь треугольника равна: ( S = 15 + 5\sqrt{5} ) кв.см.