Для того чтобы исследовать функцию на максимум и минимум, нам нужно найти экстремумы функции, а именно максимумы и минимумы.

Сначала найдем производную функции y=-x^2+2x+3:
y' = -2x + 2

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:
-2x + 2 = 0
2x = 2
x = 1

Теперь найдем значение функции в точке экстремума:
y(1) = -(1)^2 + 2*1 + 3
y(1) = -1 + 2 + 3
y(1) = 4

Таким образом, точка экстремума функции y=-x^2+2x+3 имеет координаты (1, 4).

Теперь определим, является ли это точка максимумом или минимумом. Для этого проанализируем знак второй производной функции:

y'' = -2

Поскольку вторая производная отрицательна, то это значит, что точка (1, 4) является точкой максимума функции y=-x^2+2x+3.

Таким образом, максимум функции равен 4 и достигается при x = 1.