1) Длины ребер АВ и АС:

Для вычисления длины ребра AB воспользуемся формулой для нахождения модуля вектора:

AB = √((x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2)
AB = √((-1 - 1)^2 + (3 - 2)^2 + (6 - 3)^2)
AB = √((-2)^2 + (1)^2 + (3)^2)
AB = √(4 + 1 + 9)
AB = √14

Для вычисления длины ребра AC также воспользуемся формулой для нахождения модуля вектора:

AC = √((x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2)
AC = √((-2 - 1)^2 + (4 - 2)^2 + (2 - 3)^2)
AC = √((-3)^2 + (2)^2 + (-1)^2)
AC = √(9 + 4 + 1)
AC = √14

Итак, длины ребер AB и AC равны √14.

2) Угол между ребрами AB и AC:

Для нахождения угла между ребрами воспользуемся формулой для нахождения угла между векторами:

cos(θ) = (AB AC) / (|AB| |AC|)
cos(θ) = ((-2)(-3) + (1)(2) + (3)(-1)) / (√14 * √14)
cos(θ) = (6 + 2 - 3) / 14
cos(θ) = 5 / 14
θ = arccos(5 / 14)

Таким образом, угол между ребрами AB и AC равен arccos(5 / 14).

3) Площадь грани ABC:

Для нахождения площади грани воспользуемся формулой для нахождения площади треугольника по его сторонам:

s = (|AB| + |AC| + |BC|) / 2
S_ABC = √(s(s - |AB|)(s - |AC|)(s - |BC|))
S_ABC = √((√14 + √14 + √14) / 2 (√14 / 2)(√14 / 2)(√14 / 2))
S_ABC = √(3√14 / 2 7 / 4 7 / 4 7 / 4)
S_ABC = √294 / 8

Итак, площадь грани ABC равна √294 / 8.

4) Проекция вектора AB на вектор AC:

Проекция вектора AB на вектор AC равна:

proj_AB on AC = (AB * AC) / |AC|
proj_AB on AC = ((-2)(-3) + (1)(2) + (3)(-1)) / √14
proj_AB on AC = (6 + 2 - 3) / √14
proj_AB on AC = 5 / √14

5) Объем пирамиды ABCD:

Объем пирамиды равен:

V = 1/3 S_ABC h

где S_ABC - площадь грани ABC, h - высота пирамиды.

Так как мы знаем площадь грани ABC, осталось найти высоту пирамиды. Высота пирамиды равна расстоянию от вершины D до плоскости, проходящей через треугольник ABC. Для этого найдем уравнение плоскости, содержащее треугольник ABC:

n = (B - A) x (C - A)
D = -n * A

После нахождения уравнения плоскости, расстояние от точки D до этой плоскости будет искомой высотой h. Подставив значение h в формулу для объема, мы сможем найти объем пирамиды.