Для начала преобразуем уравнение:

1/sin^2x + 3/sinx + 2 = 0
Умножим все члены уравнения на sin^2x, чтобы избавиться от знаменателей:
1 + 3sinx + 2sin^2x = 0
Упростим:
2sin^2x + 3sinx + 1 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого сначала найдем дискриминант:
D = 3^2 - 421 = 9 - 8 = 1

D > 0, значит, уравнение имеет два корня. Найдем корни уравнения:

sinx = (-3 ± √1) / (2*2) = (-3 ± 1) / 4

Таким образом, корни уравнения:
1) sinx = (-3 + 1) / 4 = -2/4 = -1/2
2) sinx = (-3 - 1) / 4 = -4/4 = -1

Так как sinx принимает значения от -1 до 1, корень -1 не подходит. Остается один корень sinx = -1/2.

Теперь найдем значения x, при которых sinx = -1/2 на отрезке [-7π/2;-2π]:
x = -5π/6, -7π/6

Таким образом, на отрезке [-7π/2;-2π] уравнение 1/sin^2x + 3/sinx + 2 = 0 имеет два решения: x = -5π/6 и x = -7π/6.