Поскольку треугольник ABC равнобедренный и прямоугольный, то у него углы при основании равны и равны 90 градусов. Таким образом, угол BAC также равен 90 градусов.

Так как LEKD - квадрат, то у него все стороны равны. Пусть сторона квадрата LEKD равна x.

Тогда, так как AD и DB - высоты треугольника ABC, LD = x + 2 см.

Посмотрим на прямоугольный треугольник ADB. Из него угол ADB = 45 градусов.

Продолжим сторону KD до пересечения с DB в точке F.

Тогда треугольник KDF также будет прямоугольным, и у него угол KDF = 90 градусов.

Так как угол ADB = 45 градусов, то угол KDF = 45 градусов.

Из прямоугольного треугольника KDF по теореме синусов:

sin$45$ = KD / KF
1/√2 = x / KF
KF = x√2

Из прямоугольного треугольника KDF также имеем KD = x.

Тогда из треугольника ADB по теореме Пифагора:

AD^2 + DB^2 = AB^2
x^2 + $2x$^2 = 3^2
x^2 + 4x^2 = 9
5x^2 = 9
x^2 = 9/5
x = √$9/5$ = 3/√5

Таким образом, LD = x + 2 = 3/√5 + 2 = $3+2\surd 5$ / √5 = $3+2\surd 5$√5 / 5 = $3\surd 5+2\surd 25$ / 5 = $3\surd 5+10$ / 5 = $3\surd 5+10$ / 5 см.

Итак, LD = $3\surd 5+10$ / 5 см.