Для решения данного иррационального уравнения, нужно привести его к квадратному виду. Для этого возводим обе части уравнения в квадрат:

(√5x-1)² = (√3x+19)²

5x - 2√5x + 1 = 3x + 19

Теперь переносим все переменные на одну сторону:

5x - 2√5x - 3x = 19 - 1

2x - 2√5x = 18

Факторизуем выражение:

2x(1 - √5) = 18

Делим обе части на (1 - √5):

2x = 18 / (1 - √5)

Умножаем обе части на (1 + √5) чтобы избавиться от знаменателя:

2x(1 + √5) = 18(1 + √5) / (1 - √5)(1 + √5)

2x + 2x√5 = 18 + 18√5

2x(1 + √5) = 18(1 + √5)

Поделим обе части на 2(1 + √5):

x = 9 / (1 + √5)

Таким образом, корень уравнения будет x = 9 / (1 + √5)