Для начала приведем все числа к основанию 7, так как 7 является наименьшим простым делителем в данном уравнении.

7 (3^4)^x + 9 (7^2)^x = 16 (7 3^2)^x
7 3^(4x) + 9 7^(2x) = 16 7^(x) 3^(2x)

Теперь выразим все числа через основание 7:

7 3^(4x) + 9 (7 7^x) = 16 7^(x) 3^(2x)
7 3^(4x) + 63 7^x = 16 7^(x) * 3^(2x)

Теперь выразим все числа через степени 7:

7 3^(4x) + 63 7 7^(x) = 16 7^x 3^(2x)
7 3^(4x) + 441 7^(x) = 16 7^x * 3^(2x)

Теперь приведем данные к удобному виду:

7 81^x + 9 49^x = 16 63^x
7 3^(4x) + 441 7^(x) = 16 7^x * 3^(2x)

Подставим данное значение 7 в первое уравнение:

7 3^(4x) + 441 7^(x) = 16 7^x 3^(2x)

Теперь выразим уравнение с новым значением x:

3^(4x) + 63 7^(x) = 16 7^(x) 3^(2x)
3^(4x) = 16 7^x 3^(2x) - 63 7^x
3^(4x) = 16 3^(2x) 7^x - 63 7^x
3^(4x) = 16 9 7^x - 63 7^x
3^(4x) = 144 7^x - 63 7^x
3^(4x) = 81 7^x
3^(4x) = 3^4 7^x
3^(4x) = 3^(4x)

Таким образом, уравнение верно для любого x, то есть имеет бесконечное множество решений.