Данное тождество можно доказать, используя формулу разности кубов:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) + (b - c)(b^2 + bc + c^2) + (c - a)(c^2 + ac + a^2)

Разложим каждое слагаемое по формуле суммы кубов:

(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3
(b - c)(b^2 + bc + c^2) = b^3 - c^3
(c - a)(c^2 + ac + a^2) = c^3 - a^3

Теперь подставим полученные выражения обратно в исходное равенство:

a^3 - b^3 + b^3 - c^3 + c^3 - a^3 = 0

Таким образом, тождество (a-b)(b-c) + (b-c)(c-a) + (c-a)(a-b) = 0 доказано.