Пусть N = x^2 - 53 и N = y^2 + 36, где x и y - натуральные числа.

Тогда x^2 - 53 = y^2 + 36
x^2 - y^2 = 89
(x+y)(x-y) = 89

89 - простое число, поэтому x+y = 89 и x-y = 1 или x+y = 1 и x-y = 89

Первое уравнение не имеет натурального решения, поэтому рассмотрим второе:

x + y = 1
x - y = 89

Сложим оба уравнения:
2x = 90
x = 45

Подставляем значение x в первое уравнение:
45 + y = 1
y = -44

Таким образом, не существует натурального числа N, для которого N + 53 и N - 36 являются полными квадратами.